aidez moi svp sa urge

Exercice 1 Le but de cet exercice est l'étude de la fonction f dénie sur l'intervalle ]0,+1[
par f(x) =
ln(e2x − 1)
ex .
A) Etude de fonctions auxiliaires
1. On dénit la fonction g sur l'intervalle ]1,+1[ par :
g(x) = 2x − (x − 1) ln(x − 1).
(a) Etudier la limite de g(x) lorsque x tend vers 1.
(b) Calculer g0(x) pour x appartenant à l'intervalle ]1,+1[.
(c) Résoudre l'inéquation 1 − ln(x − 1) > 0, d'inconnue x appartenant à l'intervalle ]1,+1[.
(d) Etudier le sens de variation de g sur l'intervalle ]1,+1[.
(e) Montrer que l'équation g(x) = 0 a une solution unique, notée ®, dans l'intervalle
[e + 1; e3 + 1], et étudier le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]1, ®[ et ]®,+1[.
2. Soit ' la fonction dénie sur l'intervalle ]1,+1[ par :
'(x) =
ln(x2 − 1)
x
.
(a) Déterminer lim
x!1
'(x) et prouver que lim
x!+1
'(x) = 0.
(b) Calculer '0(x) et montrer que '0(x) est du signe de g(x2) sur l'intervalle ]1,+1[.
(c) Montrer que ' est croissante sur l'intervalle ]1,p®] et décroissante sur l'intervalle [p®,+1[.
B) Etude de la fonction f
1. Vérier que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+1[, on a f(x) = '(ex).
2. En déduire :
(a) la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 ;
(b) la limite de f(x) lorsque x tend vers +1;
(c) le sens de variation de f sur l'intervalle ]0,+1[ et le fait que f admet un maximum en
ln(p®).
3. Montrer que, pour tout x de l'intervalle ]0,+1[, f(x) ·
2p®
® − 1
.
c tou ce aqui a en roug
merci d'avance